ระบบจำนวนจริง

การให้เหตุผล

การให้เหตุผล

            มนุษย์รู้จักการให้เหตุผล  เพื่อสนับสนุนความเชื่อ หรือเพื่อหาความจริง  หรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่งมาแต่ครั้งโบราณ  การให้เหตุทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมีอยู่  2 วิธี  ได้แก่

1.      การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive  Reasoning)

2.      การให้เหตุผลแบบนิรนัย  (Deductive  Resoning)

วิธีการให้เหตุผลเป็นสิ่งสำคัญต่อการคิด  การเรียนคณิตศาสตร์  จึงจำเป็นที่ผู้เรียนจะต้องรู้จักวิธีการให้

เหตุผลในเบื้องต้นดังนี้

2.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัย

          การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงจากส่วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม เช่น เราพบว่า ทุกเช้าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก จึงให้ข้อสรุปว่าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก

            ลายนิ้วมือของแต่ละคนนั้นแตกต่างกัน  มีการทดลองโดยการนำนิว้มือของคนหนึ่งแสนคนมาเปรียบเทียบกัน และพบว่า  ไม่มีลายนิ้วมือของใครที่ซ้ำกัน  จากการทดสอบความเหมือนของลายนิ้วมือข้างต้น  เราสามารถสรุปการให้เหตุผลแบบอุปนัยได้ว่า ลายนิ้วมือของแต่ละคนไม่เหมือนกัน  ซึ่งจากการให้ข้อสรุปดังกล่าว สามารถใช้เป็นหลักฐานในการสอบสวนหาผู้กระทำความผิดของเจ้าหน้าที่ตำรวจได้ในปัจจุบัน

            ในวิชาคณิตศาสตร์มีการใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เพื่อช่วยสรุปคำตอบหรือช่วยในการแก้ปัญหา เช่น เมื่อสังเกตจากรูปแบบของจำนวน  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10  เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีก 5 จำนวน  ได้โดยใช้ข้อสังเกตจากรูปแบบของจำนวน 1  ถึง  10  ว่ามีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง  ดังนั้นจำนวนนับที่ถัดจาก 10 อีก 5 จำนวน คือ  11  , 12 , 13 , 14   และ15   การหาจำนวนนับอีกห้าจำนวนที่ได้จากการสังเกตที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

            อาจสรุปความหมายของการให้เหตุผลแบบอุปนัยได้ดังนี้

การให้เหตุผลแบบอุปนัย  หมายถึง  วิธีการสรุปผลในการค้นคว้าหาความจริงจากการสังเกตหรือการ

    ทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

2.2  การให้เหตุผลแบบนิรนัย

                                               

            การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ  ข้อตกลง  กฎ หรือบทนิยามซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป 

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย

ตัวอย่างที่ 1     เหตุ      1)   จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว

                                     2)    6  หารด้วย 2 ลงตัว

                   ผล          6   เป็นจำนวนคู่

ตัวอย่างที่ 2     เหตุ      1)   สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น

                                     2)    สุนัขเลี้ยงลูกด้วยนม

                   ผล          สุนัขเป็นสัตว์เลือดอุ่น

ตัวอย่างที่ 3     เหตุ      1)   นักเรียน ม.4ทุกคนแต่งกายถูกระเบียบ

                                     2)    สมชายเป็นนักเรียนม.4

                   ผล          สมชายแต่กายถูกระเบียบ

            จากตัวอย่างจะเห็นว่าการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน  แล้วหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น  จะเรียกว่า  ผล   การสรุปผลจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ เป็นการสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล (valid)  เช่น

            เหตุ     1)    เรือทุกลำลอยน้ำได้

                        2)    ถังน้ำลอยน้ำได้

          ผล         ถังน้ำเป็นเรือ

            การสรุปผลข้างต้นไม่สมเหตุสมผล  แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองจะเป็น  แต่การที่เราทราบว่าเรือทุกลำลอยน้าได้  ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะเป็นเรือเสมอไป  ข้อสรุปข้างต้นเป็นการสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล

            สรุปว่า  การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้อง ก็ต่อเมื่อ

1)      ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ

2)      การสรุปผลสมเหตุสมผล

            การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นสามารถตรวจสอบได้หลายวิธี  แล้วแต่ลักษณะของข้อความที่กำหนดมาให้  วิธีการหนึ่ง คือการวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่  ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด  จึงกล่าวได้ว่าการสรุปผล  สมเหตุสมผล  แต่ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้  การสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผล  และวิธีการที่ใช้ตรวจสอบการสมเหตุสมผลที่กล่าวมา  เรียกว่า  การอ้างเหตผลโดยใช้ตรรกบทของตรรกศาสตร์ (syllogistic  logic)

            ข้อความที่ใช้ในการอ้างเหตุผลที่ใช้กันมีอยู่ด้วยกัน 4 แบบ

1)      สมาชิกของ A  ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B

2)      ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใดเป็นสมาชิกของ  B

3)      สมาชิกบางตัวของ  A  เป็นสมาชิกของ  B

4)      สมาชิกของ  A  บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ  B

หมายเหตุ    แผนภาพที่ใช้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นเป็นแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์